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合運(yùn)電氣為您帶來《Fourier變換應(yīng)用與求微分方程技巧》
數(shù)學(xué)和物理學(xué)的領(lǐng)域中，F(xiàn)ourier變換是一種強(qiáng)大的工具
Fourier變換是一種將函數(shù)從時域轉(zhuǎn)換到頻域的方法。給定一個函數(shù)f(t)
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]
這里，e^{-iωt}是復(fù)指數(shù)函數(shù)
Fourier變換求解微分方程方面具有獨(dú)特優(yōu)勢
\[ y' + p(t)y = f(t) \]
y是未知函數(shù)
1、 對方程兩邊進(jìn)行Fourier變換
\[ \mathcal{F}\{y'\} + p(t)\mathcal{F}\{y\} = \mathcal{F}\{f(t)\} \]
2
\[ \mathcal{F}\{y'\} = i\omega \mathcal{F}\{y\} \]
3
\[ i\omega \mathcal{F}\{y\} + p(t)\mathcal{F}\{y\} = \mathcal{F}\{f(t)\} \]
4
\[ \mathcal{F}\{y\} = \frac{1}{i\omega + p(t)} \mathcal{F}\{f(t)\} \]
5
Fourier變換的條件是函數(shù)某個區(qū)間內(nèi)滿足有效之積或平方積
函數(shù)的Fourier變換具有以下性質(zhì)：
1
\[ \mathcal{F}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{F}\{f(t)\} + b\mathcal{F}\{g(t)\} \]
2
\[ \mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-i\omega t_0}F(\omega) \]
3、 延拓性質(zhì)：若f(t)的Fourier變換為F(ω)
\[ \mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right) \]
Fourier變換的符號表示為：
\[ \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) \]
f(t)是時域函數(shù)
常用Fourier變換表中包含了許多常見函數(shù)的Fourier變換
1
\[ e^{at} \rightarrow{\mathcal{F}} 2\pi\delta(\omega - a) \]
2
\[ \in(\omega_0 t) \rightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{i\omega - \omega_0} - \frac{1}{i\omega + \omega_0} \]
Fourier變換作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具
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本文由（呢喃）于（2025-08-20 01:48:23）發(fā)布上傳
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